Vad är en potens?

En potens är ett smart sätt att skriva upprepad multiplikation. Istället för att skriva:

$$
2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
$$

kan vi skriva:

$$
2^4
$$

Här kallas:
2 för basen
4 för exponenten eller potensen

Det betyder:

$$
2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16
$$

Varför är potenser viktiga?

Potenser används när vi jobbar med:
– stora eller små tal (ex: avstånd i rymden, cellstorlek)
– exponentiell tillväxt (ex: ränta, smittspridning)
– algebraiska förenklingar

Potenslagar – Regler du måste kunna

1. Multiplikation med samma bas

$$
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
$$

Exempel:

$$
2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128
$$

2. Division med samma bas

$$
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
$$

Exempel:

$$
\frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625
$$

3. Potens av en potens

$$
(a^m)^n = a^{m \cdot n}
$$

Exempel:

$$
(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8
$$

4. Potens av en produkt

$$
(ab)^n = a^n \cdot b^n
$$

Exempel:

$$
(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296
$$

5. Potens av en kvot

$$
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
$$

Exempel:

$$
\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}
$$

6. Noll och negativa exponenter

En potens med exponent 0 är alltid 1 (så länge basen inte är 0):

$$
a^0 = 1
$$

– En negativ exponent innebär invertering:

$$
a^{-n} = \frac{1}{a^n}
$$

Exempel:

$$
5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}
$$

Grundpotensform (Standardform)

När vi vill skriva väldigt stora eller väldigt små tal, använder vi grundpotensform:

$$
a \cdot 10^n
$$

där:
– \( 1 \leq a < 10 \)
– \( n \) är ett heltal

Exempel: stora tal

$$
3000000 = 3 \cdot 10^6
$$

$$820000 = 8.2 \cdot 10^5$$

Exempel: små tal

$$
0.0004 = 4 \cdot 10^{-4}
$$

$$
0.00000031 = 3.1 \cdot 10^{-7}
$$

Vanliga misstag

• Glömma att lägga ihop eller dra ifrån exponenter.
• Skriva grundpotensform med ett a som inte är mellan 1 och 10.
• Blanda ihop negativ exponent med negativt tal.

Övningsuppgifter:

1. Beräkna:

$$
3^2 \cdot 3^4
$$

2. Skriv i grundpotensform:
$$0.00081
$$

3. Beräkna:
$$\left(\frac{2}{5}\right)^3
$$

Facit:

$$
3^2 \cdot 3^4 = 3^{2 + 4} = 3^6 = 729
$$

$$
0.00081 = 8.1 \cdot 10^{-4}
$$
$$
\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}
$$