Vad är en potensekvation?
En potensekvation är en ekvation där den obekanta variabeln är upphöjd till ett tal, t.ex.
\(x^2 = 25, \quad x^3 = 8, \)
\(
\text{Generellt skrivs ekvationen enligt: }
\)
$$\quad Cx^n = a \\$$
\(
\text{Där } n > 0,\ n \neq 1,\ \text{ och } C \text{ är en konstant.}
\)
Exempel på potensekvationer:
$$
x^2 = 36
$$
$$
x^3 = 125
$$
$$
(x – 2)^2 = 25
$$
Mål:
Att ta reda på vilket värde på x som gör att ekvationen är sann, genom att använda motsatt operation till upphöjning – alltså roten ur eller rötter.
Centrala begrepp:
\[
\begin{array}{|l|l|}
\hline
\textbf{Begrepp} & \textbf{Förklaring} \\
\hline
\text{Exponent} & \text{T.ex. } \textcolor{red}{2} \text{ i } x^{\textcolor{red}{2}} , \textcolor{red}{3} \text{ i } x^{\textcolor{red}{3}} \text{ anger hur många gånger basen multipliceras med sig själv.} \\
\hline
\text{Rot} & \text{Inversen till en potens, t.ex. } \sqrt{x} \text{ eller } \sqrt[3]{x} \\
\hline
\text{Lösningar} & \text{Jämn exponent ger ofta två lösningar: } x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \\
& \text{Udda exponent ger en lösning: } x^3 = 8 \Rightarrow x = 2 \\
\hline
\end{array}
\]
Steg-för-steg: Hur löser man en potensekvation?
– Isolera potensuttrycket
– Ta roten ur båda sidor (motsatt till upphöjt)
– Lös för \(x\)
– Glöm inte: ± vid jämna exponenter
Exempel 1: Kvadratekvation
$$x^2 = 49$$
Lösning:
$$x = \pm \sqrt{49} = \pm 7$$
Svar:
$$x = 7 \quad \text{eller} \quad x = -7$$
\( \text{Eftersom } x^2 \text{ betyder ”x gånger x”, ger både } 7^2 \text{ och } (-7)^2 \text{ resultatet 49.} \)
Exempel 2: Kubekvation
$$x^3 = 27$$
Lösning:
$$x = \sqrt[3]{27} = 3$$
Svar:
\(x = 3\)
Här behövs inte något ± eftersom kubroten av ett tal bara har en reell lösning.
Exempel 3: Kvadrat med uttryck
$$(x – 4)^2 = 16$$
Lösning:
$$x – 4 = \pm \sqrt{16} = \pm 4$$
Sedan:
$$x = 4 + 4 = 8 \quad \text{eller} \quad x = 4 – 4 = 0$$
Svar:
\(x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 8\)
Viktigt att komma ihåg:
– Potensekvationer handlar om att vända upphöjning – du tar roten.
– Jämna exponenter → två lösningar, udda exponenter → en lösning.
– Lösningen kan kontrolleras genom insättning i ursprungsekvationen.
