Vad är en linjär ekvation?

En linjär ekvation är en ekvation där variabeln (oftast $x$) inte är upphöjd till något högre än 1.

Linjär betyder ”rak” – och därför motsvarar en linjär ekvation också en rät linje i ett koordinatsystem.

Exempel på linjära ekvationer:

$$
2x + 5 = 11
$$

$$
3x – 7 = 2x + 4
$$

$$
\frac{x}{4} + 2 = 5
$$

Hur känner man igen en linjär ekvation?

Variabeln  x  står inte i kvadrat eller högre exponent: 

✔️ \( x \), ❌ \( x^2 \), ❌ \( 2x^2 \), ❌ \( \sqrt{x} \)

\item Innehåller INTE produkter av variabler: 

✔️ \( 2x \), ❌ \( x \cdot y \), ❌ \( xy \)

Steg-för-steg: Hur man löser en linjär ekvation

Vi följer dessa fyra steg:

1. Förenkla båda sidor

2. Flytta variabeltermer till en sida

3. Flytta konstanter till andra sidan

4. Lös för $x$

Exempel 1: Enkel linjär ekvation

$$
2x + 3 = 11
$$

Detta betyder: två gånger ett okänt tal + 3 ska bli 11.

Steg 1: Ta bort konstanten på vänster sida

Vi vill isolera x, så vi börjar med att ta bort +3 från vänster sida.

Det gör vi genom att subtrahera 3 från båda sidor:

$$2x = 11 – 3$$

Vi gör detta eftersom vi vill ha kvar bara termer med x på vänster sida.

Steg 2: Förenkla höger sida

Nu räknar vi ut vad 11−3 blir i höger sida:

$$2x = 8$$

Steg 3: Dela båda sidor med 2

För att få x ensam, dividerar vi båda sidor med 2:

$$
x = \frac{8}{2} = 4
$$

Detta fungerar eftersom 2x betyder ”två gånger x”, så vi gör motsatsen – vi delar. Svaret blir då:

$$x = 4$$

Vi kan kontrollera om vi har utfört rätta beräkningar genom att sätta in x=4 i ursprungsekvationen :

$$
2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11
$$

Exempel 2: Ekvation med parentes

$$
3(x – 2) = 2x + 1
$$

Lösning:

Steg 1: Multiplicera in i parentesen:

$$3x – 6 = 2x + 1$$

Steg 2: Flytta över termer:

$$3x – 2x = 1 + 6$$

Steg 3: Förenkla:

$$x = 7$$

Svar:

$$x = 7$$

Exempel 3: Ekvation med bråk

$$
\frac{x}{3} + 1 = 5
$$

Det betyder: ”ett tal delat på 3 plus 1 blir 5”
→ Vi vill ta reda på vad det talet $x$ är.

Steg 1: Ta bort konstanten +1

För att isolera termen med $x$ börjar vi med att ta bort $1$ från vänster sida.
Vi gör det genom att subtrahera 1 från båda sidor:

$$
\frac{x}{3} = 5 – 1
$$

Förenkla höger sida:

$$
\frac{x}{3} = 4
$$

Steg 2: Bli av med nämnaren

För att ta bort divisionen med 3, gör vi motsatsen:
Vi multiplicerar båda sidor med 3:

$$x = 4 \cdot 3 = 12$$

Svar:

$$x = 12$$

För att kontrollera om vi har utfört rätt beräkning, Sätt in x=12 i ursprungsekvationen:

$$\frac{12}{3} + 1 = 4 + 1 = 5$$

✔️ Det stämmer! Vi har löst ekvationen korrekt.

Tips 

• Kontrollera alltid ditt svar genom att sätta in $x$ i ursprungsekvationen.

• Du kan rita upp grafen om du vill se lösningen visuellt.

• Du får använda digitala verktyg (som GeoGebra) för att kontrollera din lösning. (Se lektionen om digitala verktyg)

Räta linjens ekvations formel

$$ kx + m = y $$

Vad betyder y = kx + m?

$$
y = kx + m
$$

är räta linjens ekvation. Den beskriver ett linjärt samband mellan två variabler: x och $y$. När du ritar den i ett koordinatsystem får du en rak linje.

Vad står varje bokstav för?

• $y$ – värdet på y, som beror på $x$. Detta är din beroende variabel.

• $x$ – värdet du själv väljer, din oberoende variabel.

• $k$ – lutningen, visar hur brant linjen är.

• m – skärningspunkt med y-axeln, där linjen korsar y-axeln (när x = 0).

Exempel: 

$$y=2x+1$$

• k = 2 : linjen ökar med 2 för varje steg åt höger.

• m=1: linjen börjar på y=1 när x=0

Punkter på linjen:

\[
\begin{array}{|c|l|l|}
\hline
\textbf{x} & \textbf{Beräkning av } 2x + 1 & \textbf{Resultat } y \\
\hline
0 & y = 2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 & y = 1 \\
1 & y = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 & y = 3 \\
2 & y = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 & y = 5 \\
3 & y = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 & y = 7 \\
4 & y = 2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 & y = 9 \\
-1 & y = 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 & y = -1 \\
-2 & y = 2 \cdot (-2) + 1 = -4 + 1 & y = -3 \\
\hline
\end{array}
\]

Om du ritar dessa punkter får du en rät linje med lutning 2.

Vad betyder lutningen k?

Lutningen $k$ talar om hur mycket $y$ förändras när $x$ ökar med 1.

• Om k>0 : linjen stiger från vänster till höger.

• Om k<0 : linjen sjunker från vänster till höger.

• Om k=0 : linjen är vågrät.

Exempel:

$$y = -3x + 2$$

Här sjunker linjen med 3 steg ner varje gång du går 1 steg åt höger.

Vad betyder konstanten $m$?

m är y-axelns skärningspunkt, alltså värdet på $y$ när x = 0.

• m > 0 : linjen skär y-axeln över origo

• m = 0 : linjen går rakt genom origo

• m < 0 : linjen skär y-axeln under origo

Hur används y=kx+m i verkligheten?

Inom ekonomi: t.ex. ”En taxi kostar 50 kr i startavgift och 20 kr per km”:

$$y = 20x + 50$$

Inom fysik: t.ex. ”Sträckan = hastighet · tid” omvandlas till:

$$y = vt$$

Övningsuppgifter

Uppgift 1

Lös ekvationen:

$$
3x + 5 = 17
$$

Uppgift 2

Lös ekvationen:

$$
2(x – 4) = x + 3
$$

Uppgift 3

Lös ekvationen:

$$
\frac{x}{5} + 2 = 6
$$

Uppgift 4

Lös ekvationen:

$$
4x – 7 = 2x + 5
$$

Uppgift 5

Lös ekvationen:

$$
\frac{3x – 2}{4} = 5
$$

Facit:

Uppgift 1

\begin{aligned}
3x + 5 &= 17 \\
3x &= 17 – 5 \\
3x &= 12 \\
x &= \frac{12}{3} = 4
\end{aligned}

Uppgift 2:

\begin{aligned}
2(x – 4) &= x + 3 \\
2x – 8 &= x + 3 \\
2x – x &= 3 + 8 \\
x &= 11
\end{aligned}

Uppgift 3:

\begin{aligned}
\frac{x}{5} + 2 &= 6 \\
\frac{x}{5} &= 4 \\
x &= 4 \cdot 5 = 20
\end{aligned}

Uppgift 4:

\begin{aligned}
4x – 7 &= 2x + 5 \\
4x – 2x &= 5 + 7 \\
2x &= 12 \\
x &= \frac{12}{2} = 6
\end{aligned}

Uppgift 5:

\begin{aligned}
\frac{3x – 2}{4} &= 5 \\
3x – 2 &= 20 \\
3x &= 22 \\
x &= \frac{22}{3}
\end{aligned}