Vad är en potens?
En potens är ett smart sätt att skriva upprepad multiplikation. Istället för att skriva:
$$
2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
$$
kan vi skriva:
$$
2^4
$$
Här kallas:
2 för basen
4 för exponenten eller potensen
Det betyder:
$$
2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16
$$
Varför är potenser viktiga?
Potenser används när vi jobbar med:
– stora eller små tal (ex: avstånd i rymden, cellstorlek)
– exponentiell tillväxt (ex: ränta, smittspridning)
– algebraiska förenklingar
Potenslagar – Regler du måste kunna
1. Multiplikation med samma bas
$$
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
$$
Exempel:
$$
2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128
$$
2. Division med samma bas
$$
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
$$
Exempel:
$$
\frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625
$$
3. Potens av en potens
$$
(a^m)^n = a^{m \cdot n}
$$
Exempel:
$$
(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8
$$
4. Potens av en produkt
$$
(ab)^n = a^n \cdot b^n
$$
Exempel:
$$
(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296
$$
5. Potens av en kvot
$$
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
$$
Exempel:
$$
\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}
$$
6. Noll och negativa exponenter
En potens med exponent 0 är alltid 1 (så länge basen inte är 0):
$$
a^0 = 1
$$
– En negativ exponent innebär invertering:
$$
a^{-n} = \frac{1}{a^n}
$$
Exempel:
$$
5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}
$$
Grundpotensform (Standardform)
När vi vill skriva väldigt stora eller väldigt små tal, använder vi grundpotensform:
$$
a \cdot 10^n
$$
där:
– \( 1 \leq a < 10 \)
– \( n \) är ett heltal
Exempel: stora tal
$$
3000000 = 3 \cdot 10^6
$$
$$820000 = 8.2 \cdot 10^5$$
Exempel: små tal
$$
0.0004 = 4 \cdot 10^{-4}
$$
$$
0.00000031 = 3.1 \cdot 10^{-7}
$$
Vanliga misstag
- Glömma att lägga ihop eller dra ifrån exponenter.
- Skriva grundpotensform med ett a som inte är mellan 1 och 10.
- Blanda ihop negativ exponent med negativt tal.
Övningsuppgifter:
1. Beräkna:
$$
3^2 \cdot 3^4
$$
2. Skriv i grundpotensform:
$$0.00081
$$
3. Beräkna:
$$\left(\frac{2}{5}\right)^3
$$
Facit:
$$
3^2 \cdot 3^4 = 3^{2 + 4} = 3^6 = 729
$$
$$
0.00081 = 8.1 \cdot 10^{-4}
$$
$$
\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}
$$
